삼각형 넓이의 극한

$x ^{2} + n ^{2} - 1 = 2 nx$에서 $x ^{2} - 2 nx + \left( n + 1 \right) \left( n - 1 \right) = 0$ $\left( x - n - 1 \right) \left( x - n + 1 \right) = 0$이므로 $\mathrm{A} \mathit{_{n}} \left( n - 1 , 2 n ^{2} - 2 n \right)$, $\mathrm{B} \mathit{_{n}} \left( n + 1 , 2 n ^{2} + 2 n \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{_{n}} \mathrm{B} \mathit{_{n}}}} = \sqrt{2 ^{2} + \left( 4 n \right) ^{2}} = \sqrt{16 n ^{2} + 4} = 2 \sqrt{4 n ^{2} + 1}$ 원의 중심 $\left( 2 , 0 \right)$과 직선 $2 nx - y = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4 n}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}}$이므로 점 ${\mathrm{P}}$와 직선 $2 nx - y = 0$ 사이의 거리를 $h$라 하면 $\displaystyle \frac{4 n}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}} - 1 \leq h \leq \frac{4 n}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}} + 1$ $S _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{A} \mathit{_{n}} \mathrm{B} \mathit{_{n}}}} \times \left( \frac{4 n}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}} + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{4 n ^{2} + 1} \times \left( \frac{4 n}{\sqrt{4 n ^{2} + 1}} + 1 \right)$ $\displaystyle = 4 n + \sqrt{4 n ^{2} + 1}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{4 n + \sqrt{4 n ^{2} + 1}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{4 + \sqrt{4 + \frac{1}{n ^{2}}}}{1}$ $\displaystyle = 4 + \sqrt{4} = 6$