삼각형 넓이비

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 도형의 넓이 문제를 해결한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{EB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AE}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = \overline{GC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AG}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{AEG}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 닮은 도형이다. 이 두 삼각형의 닮음비가 $1 : 2$이므로 $\mathrm{\triangle} AEG$$\displaystyle = \frac{1}{4} \times \mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{S}{4}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 또, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AD}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{FG}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AF}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AE}}$$\displaystyle = 2 \times \left( 2 \times \mathrm{\overline{AD}} \right)$$\displaystyle = 4 \times \mathrm{\overline{AD}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{AG}}$$\displaystyle = 2 \times \left( 2 \times \mathrm{\overline{AF}} \right)$$\displaystyle = 4 \times \mathrm{\overline{AF}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{ADF}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 닮은 도형이다. 이 두 삼각형의 닮음비가 $1 : 4$이므로 $\mathrm{\triangle} ADF$$\displaystyle = \frac{1}{16} \times \mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{S}{16}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의하여 $\square \mathrm{D} EGF$$= \mathrm{\triangle} AEG - \triangle ADF$$\displaystyle = \frac{S}{4} - \frac{S}{16}$$\displaystyle = \frac{3}{16} S$$= 24$ 따라서 $S$$\displaystyle = 24 \times \frac{16}{3}$$= 128$