삼각형 넓이 최대

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고 꼭짓점의 좌표를 구한다. 이차함수 $y = - x ( x - 6 )$의 그래프와 $x$축과의 교점의 좌표를 구하기 위하여 $y = 0$을 대입하면 $- x ( x - 6 ) = 0$이므로 $x = 0$ 또는 $x = 6$ 그러므로 두 교점의 좌표는 $( 0 , 0 )$, $( 6 , 0 )$이다. 즉, 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( 6 , 0 )$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 6$ 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ($밑변$) \times ($높이$)$ 이고 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 밑변의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 6$으로 일정하므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이가 최대이기 위해서는 높이가 최대이어야 한다. 높이가 최대인 경우는 점 $\mathrm{P}$가 이차함수 $y = - x ( x - 6 )$의 꼭짓점일 때이다. $y = - ( x ^{2} - 6 x ) = - ( x - 3 ) ^{2} + 9$에서 꼭짓점의 좌표가 $( 3 , 9 )$이므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이가 최대일 때, 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $9$

[다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 $k$라 할 때, 점 $\mathrm{P}$가 제$1$사분면 위의 점이므로 $k$는 양수이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times k = \frac{1}{2} \times 6 \times k = 3 k$ 즉, 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 점 $\mathrm{P}$가 이차함수 $y = - x ( x - 6 )$의 꼭짓점일 때 최대이다. $y =$$- x ( x - 6 )$$\begin{aligned} & = - ( x - 3 ) ^{2} + 9 \end{aligned}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이가 최대일 때, 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $9$