사인펜 나누어 주기

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가? 사인펜이 $14$개이므로 조건 (가)와 (다)에 의해 네 명의 학생 $\mathrm{A} , B , C , D$ 중 $2$명은 짝수 개의 사인펜을 받고 나머지 $2$명은 홀수 개의 사인펜을 받거나 네 명의 학생 모두 짝수 개의 사인펜을 받는다. (ⅰ) 네 명의 학생 중 $2$명은 짝수 개의 사인펜을 받고 나머지 $2$명은 홀수 개의 사인펜을 받는 경우 $4$명의 학생 중 짝수 개의 사인펜을 받는 $2$명의 학생을 택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2}$ 두 명의 학생 $\mathrm{A} , B$는 짝수 개의 사인펜을 받고 두 명의 학생 $\mathrm{C} , D$는 홀수 개의 사인펜을 받는다고 하면 네 명의 학생 $\mathrm{A} , B , C , D$가 받는 사인펜의 개수는 각각 $2 a + 2 , 2 b + 2 , 2 c + 1 , 2 d + 1$ ($a , b , c , d$는 음이 아닌 정수)이다. $\left( 2 a + 2 \right) + \left( 2 b + 2 \right) + \left( 2 c + 1 \right) + \left( 2 d + 1 \right)$$= 14$에서 $a + b + c + d$$= 4$ 방정식 $a + b + c + d$$= 4$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{H} _{4}$ 조건 (나)에 의해 $a \ne 4 , b \ne 4$이므로 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 $\mathrm{\mathrm{_{4}}} C _{2} \times \left( {} _{4} H _{4} - 2 \right)$$\mathrm{=} \mathrm{_{4}} C _{2} \times \left( {} _{7} C _{4} - 2 \right)$$= 198$ (ⅱ) 네 명의 학생 모두 짝수 개의 사인펜을 받는 경우 네 명의 학생 $\mathrm{A} , B , C , D$가 받는 사인펜의 개수는 각각 $2 a + 2 , 2 b + 2 , 2 c + 2 , 2 d + 2$ ($a , b , c , d$는 음이 아닌 정수)이다. $\left( 2 a + 2 \right) + \left( 2 b + 2 \right) + \left( 2 c + 2 \right) + \left( 2 d + 2 \right)$$= 14$에서 $a + b + c + d$$= 3$ 방정식 $a + b + c + d$$= 3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{H} _{3}$$= _{6} \mathrm{C} _{3}$$= 20$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $198 + 20$$= 218$ [다른풀이] $\mathrm{A} , B , C , D$가 받는 사인펜의 개수를 각각 $a , b , c , d$라 하면 $a + b + c + d$$= 14$ 조건 (가)를 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $a$$= a' + 1$, $b$$= b' + 1$, $c$$= c' + 1$, $d$$= d' + 1$로 놓으면 방정식 $a' + b' + c' + d'$$= 10$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a' , b' , c' , d'$의 순서쌍 $\left( a' , b' , c' , d' \right)$의 개수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{10}$$= _{13} \mathrm{C} _{10}$$= _{13} \mathrm{C} _{3}$$\displaystyle = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}$$= 286$ 한편, 네 명의 모두 홀수 개의 사인펜을 받는 경우의 수는 $a$$= 2 a'' + 1$, $b$$= 2 b'' + 1$, $c$$= 2 c'' + 1$, $d$$= 2 d'' + 1$로 놓으면 방정식 $a'' + b'' + c'' + d''$$= 5$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a'' , b'' , c'' , d''$의 순서쌍 $\left( a'' , b'' , c'' , d'' \right)$의 개수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{5}$$= _{8} \mathrm{C} _{5}$$= _{8} \mathrm{C} _{3}$$\displaystyle = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$$= 56$ 즉 조건 (가)와 조건 (다)를 만족시키는 경우의 수는 $286 - 56$$= 230$ 한편, 조건 (가)와 조건 (다)를 만족시키고, 사인펜을 $10$개 이상 받은 학생이 있는 경우 각 학생이 받은 사인펜의 개수는 $10 , 2 , 1 , 1$ 뿐이고 이 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !}$$= 12$ 따라서 모든 조건을 만족시키는 경우의 수는 $230 - 12$$= 218$