확률과 통계조건부확률수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사관학교 희망 조건부확률

문제

$\mathrm{A}$ 고등학교의 학생비율은 $1 , 2$ 학년이 각각 $40 \%$ 이고 $3$ 학년은 $20 \%$ 이다. 이 학생들에게 사관학교에 진학할 의향이 있는지를 조사하였더니 $1$ 학년은 $30 \%$ , $2$ 학년은 $10 \%$ , $3$ 학년은 $15 \%$ 가 졸업 후 사관학교에 진학하기를 희망한다고 답하였다. 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생 중 $1$ 명을 택하였을 때, 그 학생이 $1$ 학년이거나 $2$ 학년 학생일 확률은 $\displaystyle \frac{n}{m}$ 이다. 이때, $m + n$ 의 값을 구하시오. (단, $m$ 과 $n$ 은 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

	1학년	2학년	3학년
A고등학교 학생비율	$40 \%$	$40 \%$	$20 \%$
사관학교 진학을 희망하는 학생비율	$30 \%$	$10 \%$	$15 \%$

전체 학생 중 $1$ 명을 택할 때, 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생이 택하여 지는 사건을 $\mathrm{E}$ , $1$ 학년 학생인 사건을 $\mathrm{A}$ , $2$ 학년 학생인 사건을 $\mathrm{B}$ , $3$ 학년 학생인 사건을 $\mathrm{C}$ 라 두면 조건부확률에서 $\displaystyle \begin{aligned} \therefore \mathrm{P} & = \frac{\mathrm{P} \left( \mathrm{A} \cap \mathrm{E} \right) + \mathrm{P} ( \mathrm{B} \cap \mathrm{E} )}{\mathrm{P} \left( \mathrm{A} \cap \mathrm{E} \right) + \mathrm{P} ( \mathrm{B} \cap \mathrm{E} ) + \mathrm{P} ( \mathrm{C} \cap \mathrm{E} )} \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{\frac{40}{100} \times \frac{30}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{10}{100}}{\frac{40}{100} \times \frac{30}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{10}{100} + \frac{20}{100} \times \frac{15}{100}} = \frac{16}{19}$ $\therefore m + n = 19 + 16 = 35$

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