미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

세 수열 {an},{bn},{cn}\{ a _{n} \} , \{ b _{n} \} , \{ c _{n} \}이 모든 자연수 nn에 대하여 an<cn<bna _{n} < c _{n} < b _{n}을 만족한다. 두 수열 {an},{bn}\{ a _{n} \} , \{ b _{n} \}은 수렴하고, lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} = \alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = \beta일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

ㄱ. {cnc _{n}}이 수렴하면 α=β\alpha = \beta이다. ㄴ. {cnc _{n}}이 발산하면 α<β\alpha < \beta이다. ㄷ. α=β=0\alpha = \beta = 0이면 ∑n=1∞cn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} c _{n}은 수렴한다. <보기>

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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②

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해설

ㄱ) (반례)an=1a _{n} = 1, cn=2c _{n} = 2, bn=3b _{n} = 3이라 두면 lim⁡n→∞an=1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n} = 1}}, lim⁡n→∞bn=3\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {b _{n} = 3}이므로 α≠β\alpha \ne \beta이지만 수열 cnc _{n}은 수렴한다. ㄴ) an<bna _{n} < b _{n}이고 각각의 수열이 수렴하므로 그들의 극한값 사이에는 α≤β\alpha \leq \beta의 관계가 성립한다. 그런데, 만약 α=β\alpha = \beta라면 샌드위치정리에 의해 cnc _{n}도 α\alpha로 수렴할 수 밖에 없다. 그러므로, cnc _{n}이 발산하면 α<β\alpha < \beta가 성립한다. ㄷ) 주어진 조건은 결국 lim⁡n→∞cn=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty {c _{n} = 0}}이면 무한급수가 수렴하는지를 물어본 것인데 이 명제는 거짓이므로 항상 성립하지 않는다. 그러므로 옳은 것은 ㄴ이다.

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