색종이 재배열

[출제의도] 인수분해를 이용하여 직사각형의 한 변의 길이를 추론한다.

[그림 $1$]

[그림 $2$]

[그림 $1$]의 색종이를 여러 조각으로 나누어 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 [그림 $2$]와 같은 모양을 만들었으므로 [그림 $1$]의 도형의 넓이는 [그림 $2$]의 도형의 넓이와 같아야 한다. [그림 $1$]에서 $\mathrm{A}$부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 x + 4 \right) \times x$$= x ( x + 2 )$ [그림 $1$]에서 $\mathrm{B}$부분의 넓이는 $2 \times 3 = 6$ [그림 $1$]의 넓이는 한 변의 길이가 $3 x$인 정사각형에서 $\mathrm{A}$부분과 $\mathrm{B}$부분을 뺀 부분의 넓이와 같다. 따라서 [그림 $1$]의 도형의 넓이는 $\left( 3 x \right) ^{2} - x \left( x + 2 \right) - 6$$= 8 x ^{2} - 2 x - 6$ $= \left( 4 x + 3 \right) \left( 2 x - 2 \right)$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ [그림 $2$]의 직사각형에서 가로의 길이를 $L$이라 하면 이 직사각형의 넓이는 $\left( 2 x - 2 \right) L$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ [그림 $1$]과 [그림 $2$]의 두 넓이는 서로 같으므로 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\left( 2 x - 2 \right) L$$= \left( 4 x + 3 \right) \left( 2 x - 2 \right)$ 위 등식이 양변이 같아야 하므로 $L = 4 x + 3$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $4 x + 3$이다. [다른 풀이] [그림 $1$]의 색종이를 다음과 같이 점선을 따라 잘라 내어 여섯 개의 조각으로 나눈다.

이렇게 여러 조각으로 나누어진 색종이를 다음 그림과 같이 겹치지 않게 빈틈없이 붙이면 문제의 [그림 $2$]와 같이 세로의 길이가 $2 x - 2$인 직사각형을 만들 수 있다. 이때 가로의 길이는 $4 x + 3$이 된다.

따라서 구하는 길이는 $4 x + 3$이다.