색 카드 나누어 주기

빨간색 카드와 파란색 카드는 각각 $3$명의 학생에게 나누어 주므로 경우의 수는 각각 $3$이다. 노란색 카드 $3$장을 $3$명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 $3$명에게 중복을 허락하여 $3$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} \mathit{_{3}} = \mathit{_{3 + 3 - 1}} \mathrm{C} \mathit{_{3}} = \mathit{_{5}} \mathrm{C} \mathit{_{3}} = 10$ 보라색 카드 $3$장을 나누어 주는 경우의 수도 마찬가지로 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} \mathit{_{3}} = 10$ 따라서 빨간색 카드 $1$장, 파란색 카드 $1$장, 노란색 카드 $3$장, 보라색 카드 $3$장을 세 학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 $3 \times 3 \times 10 \times 10 = 900$ 전체 경우의 수에서 '학생 ${\mathrm{A}}$가 카드를 받지 못하거나 또는 학생 ${\mathrm{B}}$가 카드를 받지 못하는 경우'의 수를 뺀다. (ⅰ) 학생 ${\mathrm{A}}$가 카드를 받지 못할 때 모든 카드를 학생 ${\mathrm{B}}$, $\mathrm{C}$ 두 명에게 나누어 주는 경우의 수는 $2 \times 2 \times \mathit{_{2}} \mathrm{H} _{3} \times \mathit{_{2}} \mathrm{H} _{3} = 2 \times 2 \times 4 \times 4 = 64$ (ⅱ) 학생 ${\mathrm{B}}$가 카드를 받지 못할 때 (ⅰ)과 마찬가지로 모든 카드를 학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{C}}$ 두 명에게 나누어 주므로 경우의 수는 $64$이다. (ⅲ) 학생 ${\mathrm{A}}$와 ${\mathrm{B}}$가 모두 카드를 받지 못할 때 모든 카드를 학생 $\mathrm{C}$에게 주므로 경우의 수는 $1$이다. 이상에서 학생 $\mathrm{A}$가 카드를 받지 못하거나 학생 $\mathrm{B}$가 카드를 받지 못하는 경우의 수는 $64 + 64 - 1 = 127$ 이므로 조건 (가)를 만족하는 경우의 수는 $900 - 127 = 773$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (가)를 만족하면서 학생 ${\mathrm{A}}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받는 경우의 수는 (ⅰ) 학생 ${\mathrm{A}}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받을 때 ${\mathrm{A}}$는 빨간색 카드와 파란색 카드를 반드시 받아야 하고 노란색 카드와 보라색 카드를 각각 $1$장 이상 받아야 한다. 남은 노란색 카드 $2$장을 세 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} = \mathit{_{4}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} = 6$ 남은 보라색 카드 $2$장을 나누어 주는 경우의 수도 마찬가지로 $6$이므로 $\mathrm{A}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받는 경우의 수는 $1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$ (ⅱ) 학생 $\mathrm{A}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받고 학생 ${\mathrm{B}}$는 카드를 받지 못할 때 $\mathrm{A}$는 빨간색, 파란색 카드를 받고 노란색 카드 $3$장을 ${\mathrm{A}}$, $\mathrm{C}$에게 나누어 줄 때 $\mathrm{A}$가 $1$장 이상 받아야 하므로 $\mathrm{A}$에게 $1$장을 먼저 주고 남은 $2$장을 ${\mathrm{A}}$, $\mathrm{C}$에게 나누어 주는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} = \mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} = 3$ 보라색 카드 $3$장을 나누어 주는 경우의 수도 마찬가지로 $3$이다. 따라서 $\mathrm{A}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받고 ${\mathrm{B}}$는 카드를 받지 못하는 경우의 수는 $1 \times 1 \times 3 \times 3 = 9$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건 (가)를 만족하면서 $\mathrm{A}$가 $4$가지 색의 카드를 모두 받는 경우의 수는 $36 - 9 = 27$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 경우의 수는 $773 - 27 = 746$