사다리꼴과 좌표

좌표평면에서 점 $\mathrm{B}$를 원점으로 하고 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( 0 , 4 \right)$, 점 $\mathrm{C}$의 좌표를 $\left( 8 , 0 \right)$이라 하자.

직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 4$ 점 $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , 0 \right)}$을 지나고 직선 $\mathrm{AC}$에 수직인 직선 $\mathrm{BP}$의 방정식은 $y = 2 x$ 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 $\left( t , 4 \right)$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} t , 4 \right)$ 점 $\mathrm{P}$는 직선 $\mathrm{BP}$ 위의 점이므로 $\displaystyle 4 = 2 \times \frac{2}{3} t$, $t = 3$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 2 , 4 \right)$, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left( 3 , 4 \right)$ 점 $\mathrm{Q}$는 두 직선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BP}$가 만나는 점이므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{8}{5} , \frac{16}{5} \right)$ 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{AQD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{QH}}} = \frac{1}{2} \times 3 \times \left( 4 - \frac{16}{5} \right) = \frac{6}{5}$