사다리 발판 길이

[출제의도] 닮음의 성질을 이해하고 선분의 길이를 구한다.

그림과 같이 사다리의 발판 양 끝 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{F}$를 지나고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$에 평행한 직선이 $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = {\overline{CI}} = {\overline{DJ}} = 55$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{JH}} = {\overline{DH}} - {\overline{DJ}} = 61 - 55 = 6$ $\mathrm{\triangle} FJH$에서 $\mathrm{G}$가 선분 $\mathrm{FH}$의 중점이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{IG}} \parallel {\overline{JH}}$이므로 중점연결정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{IG}} = \frac{1}{2} \times \overline{JH}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6$$= 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{CI}} + \overline{IG}$$= 55 + 3$$= 58$ $\cdots \text{㉠}$ 선분 $\mathrm{AE}$의 연장선과 선분 $\mathrm{JF}$의 연장선의 교점을 $\mathrm{K}$라 하면 $\mathrm{\triangle} FIG$$\equiv$$\mathrm{\triangle} FKE$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EK}} = 3$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} =$$\displaystyle \mathrm{\overline{AK}} - \mathrm{\overline{EK}}$$= 55 - 3$$= 52$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, ㉡에 의해서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} + \mathrm{\overline{AE}} = 58 + 52 = 110$ [다른 풀이]

그림과 같이 사다리의 발판 양 끝 점을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \frac{1}{2} {\overline{AD}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PE}} = \frac{1}{2} \mathit{\overline{\mathrm{CF}}}$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = {\overline{BP}} + {\overline{PE}} = \frac{1}{2} {\overline{AD}} + \frac{1}{2} {\overline{CF}} = \frac{1}{2} \left( {\overline{AD}} + {\overline{CF}} \right)$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + {\overline{CF}} = 2 \mathrm{\overline{BE}} = 110$