사칙연산에 닫힌 집합

[출제의도] 사칙연산에 대하여 닫혀 있는 집합의 원소를 구한다. ㄱ. 조건 (가)에서 집합 $A$의 원소가 $2$개 이상이므로 원소 $x$를 집합 $A$에서 정할 수 있다. 조건 (나)에서 집합 $A$는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 $x - x \in A$ $\therefore 0 \in A$ (참) ㄴ. 조건 (가)에서 집합 $A$의 원소가 $2$개 이상이므로 $0$이 아닌 원소 $x$를 집합 $A$에서 정할 수 있다. 조건 (나)에서 집합 $A$는 나눗셈에 대하여 닫혀 있으므로 $x \div x \in A$ $\therefore 1 \in A$ (참) ㄷ. ㄴ에서 $1 \in A$이고 집합 $A$는 덧셈에 대하여 닫혀 있으므로 $1 + 1 \in A$ $\therefore 2 \in A$ $2 + 1 \in A$ $\therefore 3 \in A$ 집합 $A$는 나눗셈에 대하여 닫혀 있으므로 $1 \in A$, $3 \in A$ 에서 $1 \div 3 \in A$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{3} \in A$ (참) [참고] 임의의 두 자연수를 더하거나 곱한 값은 항상 자연수이므로 자연수 전체의 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 그러나 두 자연수를 빼거나 나눈 값은 자연수가 아닌 경우도 있으므로 자연수 전체의 집합은 뺄셈과 나눗셈에 대하여는 닫혀 있지 않다. 정수 전체의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 유리수 전체의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고, $0$으로 나누는 것을 제외하면 나눗셈에 대하여도 닫혀 있다. 실수 전체의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고, $0$으로 나누는 것을 제외하면 나눗셈에 대하여도 닫혀 있다.