미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그함수 합성함수열의 성질

문제

함수 f(x)=log⁡2x+1f ( x ) = \log _{2} x + 1 (x≥1x \geq 1)에 대하여 f1(x)=f(x)f _{1} ( x ) = f ( x ), f2(x)=f(f1(x))f _{2} ( x ) = f ( f _{1} ( x ) ), ⋯ , fn(x)=f(fn−1(x))f _{n} ( x ) = f ( f _{n-1} ( x ) ), ⋯ 로 나타낼 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5점]

<보 기>
ㄱ. m<nm < n이면 fm(x)≤fn(x)f _{m} ( x ) \leq f _{n} ( x )이다. ㄴ. x≥32\displaystyle x \geq \frac{3}{2}일 때 lim⁡n→∞fn(x)\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} f _{n} ( x )는 수렴한다. ㄷ. 임의의 자연수 mm, nn에 대하여 fm(x)=fn(x)f _{m} ( x ) = f _{n} ( x )이면 x=1x = 1 또는 x=2x = 2이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=xy = x는 그림과 같이 x=1x = 1, x=2x = 2에서 만난다.

ㄱ. m=1m = 1, n=2n = 2일 때, x>2x > 2이면 m<nm < n이지만 fm(x)≥fn(x)f _{m} ( x ) \geq f _{n} ( x )이다. (거짓)

ㄴ. x≥32\displaystyle x \geq \frac{3}{2}일 때, nn이 커짐에 따라서 fn(32)\displaystyle f _{n} \left( \frac{3}{2} \right)의 값은 22보다 작은 범위에서 한없이 22에 가까워진다. ∴ lim⁡n→∞fn(x)\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} f _{n} ( x )=2= 2 (참)

ㄷ. x≠1x \ne 1이고 x≠2x \ne 2이면 m≠nm \ne n일 때, fm(x)<fn(x)f _{m} ( x ) < f _{n} ( x ) 또는 fm(x)>fn(x)f _{m} ( x ) > f _{n} ( x )이다.

따라서 임의의 자연수 mm, nn에 대하여 fm(x)=fn(x)f _{m} ( x ) = f _{n} ( x )이면 x=1x = 1 또는 x=2x = 2이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

태그

#함수의 합성#함수열의 극한#그래프와 직선의 교점

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