공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그 부등식 영역과 원

문제

좌표평면 위에 연립 부등식 {∣x∣+∣y∣≤4log⁡2(x+y)4−log⁡2(x+y)2≥2\displaystyle \begin{cases} | x | + | y | \leq 4 \\ \log _{2} ( x + y ) ^{4} - \log _{2} ( x + y ) ^{2} \geq 2 \end{cases} 가 나타내는 영역이 있다. 중심이 (12,−1)\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - 1 \right)이고 반지름의 길이가 rr인 원이 이 영역과 만날 때, rr의 최솟값과 최댓값은? [2점] [최솟값] [최댓값] ①24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}, 852\displaystyle \frac{\sqrt{85}}{2}②524\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{4}, 1012\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{2}③324\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{4}, 852\displaystyle \frac{\sqrt{85}}{2}④324\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{4}, 1012\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{2}⑤24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}, 1012\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{2}

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④

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해설

log⁡2(x+y)4−log⁡2(x+y)2≥2\log _{2} ( x + y ) ^{4} - \log _{2} ( x + y ) ^{2} \geq 2을 정리하면 log⁡2(x+y)2≥2\log _{2} ( x + y ) ^{2} \geq 2 →(x+y)2≥4\rightarrow ( x + y ) ^{2} \geq 4 ∴∣x+y∣≥2\therefore | x + y | \geq 2 따라서, ∣x∣+∣y∣≤4| x | + | y | \leq 4와의 공통부분을 표시하면 어두운 부분과 같다.

원(x−12)2+(y+1)2=r2\displaystyle \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = r ^{2}에서 rr의 최솟값은 원이 직선 x+y+2=0x + y + 2 = 0과 접할 때이므로 r=∣12−1+2∣2\displaystyle r = \frac{\left| \frac{1}{2} - 1 + 2 \right|}{\sqrt{2}}=324\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2}}{4} 또, rr의 최댓값은 점 (0,4)( 0 , 4 )를 지날 때이므로 두 점 (12,−1)\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - 1 \right)과 점 (0,4)( 0 , 4 )사이의 거리를 구하면 r=(12)2+(4+1)2\displaystyle r = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + ( 4 + 1 ) ^{2}}=1012\displaystyle = \frac{\sqrt{101}}{2}

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