미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 부등식 수열 극한

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 1+2log⁡3n<log⁡3an<1+2log⁡3(n+1)1 + 2 \log _{3} n < \log _{3} a _{n} < 1 + 2 \log _{3} \left( n + 1 \right) 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞ann2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{2}}}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 log⁡33n2<log⁡3an<log⁡33(n+1)2\log _{3} 3 n ^{2} < \log _{3} a _{n} < \log _{3} 3 \left( n + 1 \right) ^{2} 3n2<an<3(n+1)23 n ^{2} < a _{n} < 3 \left( n + 1 \right) ^{2} 3n2n2<ann2<3(n+1)2n2\displaystyle \frac{3 n ^{2}}{n ^{2}} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{3 \left( n + 1 \right) ^{2}}{n ^{2}} lim⁡n→∞3n2n2≤lim⁡n→∞ann2≤lim⁡n→∞3(n+1)2n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n ^{2}}{n ^{2}}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{2}}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 \left( n + 1 \right) ^{2}}{n ^{2}}} lim⁡n→∞3n2n2=lim⁡n→∞3(n+1)2n2=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n ^{2}}{n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 \left( n + 1 \right) ^{2}}{n ^{2}} = 3} 따라서 lim⁡n→∞ann2=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n ^{2}}} = 3

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#수열의 극한#대소 관계

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