확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균의 평균

문제

11부터 66까지의 자연수에서 크기가 44인 표본을 임의추출하여 순서쌍 (a1,a2,a3,a4)( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} )로 나타낸다. 서로 다른 순서쌍을 모두 구하여 각각을 A1,A2,A _{1} , A _{2} ,…,Ak, A _{k}라 하자. 순서쌍 AiA _{i}(i=1,2,i = 1 , 2 ,…,k, k)에 속한 모든 성분의 합을 sis _{i}라 할 때, ∑i=1ksik\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{k} \frac{s _{i}}{k}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

s14=X1,s24=X2,⋯ ,sk4=Xk\displaystyle \frac{s _{1}}{4} = X _{1} , \frac{s _{2}}{4} = X _{2} , \cdots , \frac{s _{k}}{4} = X _{k}라 하면 X1,X2,⋯ ,XkX _{1} , X _{2} , \cdots , X _{k}는 주어진 문제에서 모집단이 1,2,⋯ ,61 , 2 , \cdots , 6일 때, 크기가 44인 표본집단의 평균들이다. 여기에서 표본평균의 평균 X1+X2+⋯+Xkk\displaystyle \frac{X _{1} + X _{2} + \cdots + X _{k}}{k}는 모집단의 평균과 같으므로 X1+X2+⋯+Xkk=72\displaystyle \frac{X _{1} + X _{2} + \cdots + X _{k}}{k} = \frac{7}{2}이다. ∴∑i=1ksik\displaystyle \sum\limits _{i=1} ^{k} \frac{s _{i}}{k}=s1+s2+⋯+skk\displaystyle = \frac{s _{1} + s _{2} + \cdots + s _{k}}{k} =4(X1+X2+⋯+Xkk)=4×72=14\displaystyle = 4 \left( \frac{X _{1} + X _{2} + \cdots + X _{k}}{k} \right) = 4 \times \frac{7}{2} = 14

태그

#표본평균#모평균

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