표본평균의 확률

[출제의도] 정규분포를 이용하여 확률 계산하기 이 고등학교 각 학생의 일주일 동안 자기 주도적 학습시간을 확률변수 $X$라 하자. $X$는 정규분포 $N ( m , 2 ^{2} )$을 따르고, $\displaystyle Z = \frac{X - m}{2}$은 표준정규분포 $N ( 0 , 1 )$을 따른다. $P ( X \geq 36 )$$= 0.0228$이고 $P ( Z \geq 2 ) = 0.5 - P ( 0 \leq Z \leq 2 ) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$ $\displaystyle \frac{36 - m}{2} = 2$이므로 $m = 32$ 이 고등학교 학생 중 16명을 임의추출하여 조사한 일주일 동안 자기 주도적 학습시간의 표본평균을 $\displaystyle {\overline{X}}$라 하자. $\displaystyle {\overline{X}}$의 평균과 분산은 $\displaystyle E ( {\overline{X}} ) = 32$, $\displaystyle V ( {\overline{X}} ) = \frac{2 ^{2}}{16} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 $\displaystyle N \left( 32 , \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right)$을 따른다. 확률변수 $\displaystyle Z = \frac{{\overline{X}} - 32}{\frac{1}{2}}$는 표준정규분포 $N ( 0 , 1 )$을 따른다. $\displaystyle P ( 31 \leq {\overline{X}} \leq 33.5 ) = P \left( \frac{31 - 32}{\frac{1}{2}} \leq Z \leq \frac{33.5 - 32}{\frac{1}{2}} \right)$ $= P ( - 2 \leq Z \leq 3 ) = P ( 0 \leq Z \leq 2 ) + P ( 0 \leq Z \leq 3 )$ $= 0.4772 + 0.4987 = 0.9759$