표본평균의 확률

[출제의도] 표본평균의 확률을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 이 고등학교 남학생 중 임의추출한 25명의 키의 표본평균을 $\displaystyle {\overline{X}}$라 하면 $\displaystyle E \left( {\overline{X}} \right) = 175 , \sigma \left( {\overline{X}} \right) = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ 이때, $\displaystyle Z = \frac{{\overline{X}} - 175}{2}$라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $N ( 0 , 1 )$을 따르므로 $\displaystyle P ( 177 \leq {\overline{X}} \leq 179 )$ $\displaystyle = P \left( \frac{177 - 175}{2} \leq Z \leq \frac{179 - 175}{2} \right)$ $= P \left( 1 \leq Z \leq 2 \right)$ $= P \left( 0 \leq Z \leq 2 \right)$$- P \left( 0 \leq Z \leq 1 \right)$ $= 0.4772 - 0.3413$ $= 0.1359$