확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균의 확률

문제

어느 공장에서 생산되는 제품의 길이 XX는 평균이 mm이고, 표준편차가 44인 정규분포를 따른다고 한다. P(m≤X≤a)=0.3413{\mathrm{P}} ( m \leq X \leq a ) = 0.3413일 때, 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 1616개의 길이의 표본평균이 a−2a - 2이상일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, aa는 상수이고, 길이의 단위는 cm\mathrm{cm}이다.) [4점]

zzP(0≤Z≤z)P ( 0 \leq Z \leq z )
1.01.00.34130.3413
1.51.50.43320.4332
2.02.00.47720.4772

①0.02280.0228②0.06680.0668③0.09190.0919④0.13590.1359⑤0.15870.1587

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①

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해설

XX는 정규분포 N(m,42)\mathrm{N} ( \mathit{m} , 4 ^{2} )을 따른다. P(m≤X≤a)=P(0≤Z≤a−m4)=0.3413\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{m} \leq X \leq a ) = \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq \frac{a - m}{4} \right) = 0.3413에서 표준정규분포표를 이용하면 a−m4=1\displaystyle \frac{a - m}{4} = 1 ∴a=m+4⋯⋯㉠\therefore a = m + 4 \cdots \cdots \text{㉠} 크기가 1616인 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(m,12)\mathrm{N} ( \mathit{m} , 1 ^{2} )을 따르므로 P(X‾≥a−2)\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X}} \geq a - 2 ) =P(Z≥a−2−m1)\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{a - 2 - m}{1} \right) =P(Z≥2)= \mathrm{P} ( \mathit{Z} \geq 2 ) (∵\because ㉠에서) =0.5−0.4772= 0.5 - 0.4772 =0.0228= 0.0228

태그

#표본평균의 분포#표준정규분포

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