표본평균의 확률

회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} ( 350 , 16 ^{2} )$을 따른다. 크기 $64$인 표본의 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle E ( \overline{X} ) = 350$ $\displaystyle V ( \overline{X} ) = \frac{16 ^{2}}{64} = 2 ^{2}$이므로 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N} ( 350 , 2 ^{2} )$을 따른다. ∴ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} \overline{X} \leq 346 \text{또는} \overline{X} \geq 355 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{(} \overline{X} \leq 346 ) + \mathrm{P} \mathit{(} \overline{X} \geq 355 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq \frac{346 - 350}{2} \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{355 - 350}{2} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{(} Z \leq - 2 ) + \mathrm{P} \mathit{(} Z \geq 2.5 )$$= \mathrm{P} \mathit{(} Z \geq 2 ) + \mathrm{P} \mathit{(} Z \geq 2.5 )$ $= ( 0.5 - 0.4772 ) + ( 0.5 - 0.4938 )$$= 0.0228 + 0.0062$ $= 0.0290$