표본평균의 확률

크기가 $4$인 표본의 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \left( 11 , \left( \frac{2}{\sqrt{4}} \right) ^{2} \right)$ 즉, $\mathrm{N} \left( 11 , 1 ^{2} \right)$을 따른다. $\displaystyle \therefore \mathrm{P} \left( \mathit{10} \leq \overline{X} \leq 14 \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} P \mathit{\left( \frac{10 - 11}{1} \leq \frac{\overline{X} - 11}{1} \leq \frac{14 - 11}{1} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{(} - 1 \leq Z \leq 3 )$ $= \mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq 1 ) + \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 3 ) \right.}$ $= 0.3413 + 0.4987 = 0.84$ 이 때, $A$, $B$ 두 사람이 각각 독립적인 표본을 임의추출하였으므로 두 사람이 뽑은 표본의 표본평균이 $10$ 이상 $14$ 이하일 확률은 모두 $0.84$로 같고, 두 사건은 서로 독립이다. 따라서 두 표본평균이 모두 $10$ 이상 $14$ 이하일 확률은 $0.84 \times 0.84 = 0.7056$이다.