확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

표본평균의 확률

문제

어느 제과점에서 만드는 빵 $1$ 개의 무게를 확률변수 $X$ 라 하면 $X$ 는 평균이 $150$ g, 표준편차가 $12$ g인 정규분포를 따른다고 한다. 임의추출된 빵 $9$ 개의 무게의 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{X}$ 가 $144$ g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면 $\displaystyle \frac{k}{10000}$ 이다. $k$ 의 값을 구하시오. [3점]

$z$	$\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq z )$
$1$	$0.3413$
$1.5$	$0.4332$
$2$	$0.4772$
$2.5$	$0.4938$
$3$	$0.4987$

[ 표준정규분포표]>

$z$	$\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq z )$
$1$	$0.3413$
$1.5$	$0.4332$
$2$	$0.4772$
$2.5$	$0.4938$
$3$	$0.4987$

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668

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해설

모집단이 정규분포 N(150, $12 ^{2}$ )을 따르고, 표본의 크기가 9이므로 $\displaystyle \mathrm{E} ( \overline{\mathit{X}} ) = 150$ , $\displaystyle \mathrm{V} ( \overline{\mathit{X}} ) = \frac{12 ^{2}}{9} = 16$ 따라서 표본평균 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathit{X}}}$ 는 N(150, $4 ^{2}$ )을 따른다. $\displaystyle \mathrm{P} ( \overline{\mathit{X}} \leq 144 )$ $\displaystyle = P ( \mathit{Z} \leq \frac{144 - 150}{4} )$ $= \mathrm{P} ( \mathit{Z} \leq - 1.5 )$ $= 0.5 - P ( 0 \leq \mathit{Z} \leq 1.5 )$ $= 0.5 - 0.4332 = 0.0668$ ∴ $k = 668$

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