표본평균의 확률

한 번의 시행에서 두 수의 차를 확률변수 $X$라 하면 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right)$은 다음과 같이 구할 수 있다. (ⅰ) 주사위 눈의 수가 $3$의 배수가 나올 경우 $( 1 , 2 )$ 또는 $( 2 , 3 )$이 적힌 공 두 개를 꺼낸다. (ⅱ) 주사위 눈의 수가 $3$의 배수가 아닐 경우 $( 1 , 2 )$ 또는 $( 2 , 3 )$ 또는 $( 3 , 4 )$가 적힌 공 두 개를 꺼낸다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{9}$ 마찬가지로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right)$, $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right)$을 구하면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \overline{\mathit{X}} = 2 \right)$는 두 번 시행하여 $X$의 값이 차례로 $( 1 , 3 )$ 또는 $( 2 , 2 )$ 또는 $( 3 , 1 )$이 나올 확률이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \overline{\mathit{X}} = 2 \right)$$= \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right) \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right) \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right)$ $+ \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{5}{9} \times \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \times \frac{5}{9}$ $\displaystyle = \frac{19}{81}$