표본평균의 확률

[출제의도] 표본평균의 확률분포를 이용하여 확률을 구할 수 있는가? 확률변수 $X$의 표준편차를 $a$라 하면 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 220 , a ^{2} \right)}$을 따른다. 확률변수 $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 220 , \left( \frac{a}{\sqrt{n}} \right) ^{2} \right)}$을 따르고, $Z$$\displaystyle = \frac{{\overline{X}} - 220}{\frac{a}{\sqrt{n}}}$으로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}$을 따른다. 이때 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{X}} \leq 215 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq \frac{215 - 220}{\frac{a}{\sqrt{n}}} \right)}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq - \frac{5 \sqrt{n}}{a} \right)}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{5 \sqrt{n}}{a} \right)}$ $\displaystyle = 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{5 \sqrt{n}}{a} \right)}$ $\displaystyle 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{5 \sqrt{n}}{a} \right)}$$= 0.1587$에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{5 \sqrt{n}}{a} \right)}$$= 0.3413$이므로 $\displaystyle \frac{5 \sqrt{n}}{a}$$= 1$ $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{n}}$$= 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 조건 (나)에서 확률변수 $Y$의 표준편차는 $\displaystyle \frac{3 a}{2}$이므로 확률변수 $Y$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 240 , \left( \frac{3 a}{2} \right) ^{2} \right)}$을 따른다. 확률변수 $\displaystyle {\overline{Y}}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 240 , \left( \frac{\frac{3 a}{2}}{3 \sqrt{n}} \right) ^{2} \right)}$을 따르고 ㉠에서 $\displaystyle \frac{\frac{3 a}{2}}{3 \sqrt{n}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{a}{\sqrt{n}}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$이므로, $Z$$\displaystyle = \frac{{\overline{Y}} - 240}{\frac{5}{2}}$으로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}$을 따른다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( {\overline{Y}} \geq 235 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{235 - 240}{\frac{5}{2}} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq - 2 \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( \mathit{-} 2 \leq Z \leq 0 \right)} + 0.5$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 2 \right)} + 0.5$ $= 0.4772 + 0.5$ $= 0.9772$