표본평균의 확률

보험회사의 긴급 차량 서비스의 출동 시간을 확률변수 $X$라고 하면 $X$는 정규분포 ${\mathrm{N}} ( 20 , 4 ^{2} )$을 따른다. 크기가 $16$인 표본의 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$라고 하면 $\displaystyle {\mathrm{E}} ( \overline{X} ) = 20 , {\mathrm{V}} ( \overline{X} ) = \frac{4 ^{2}}{16} = 1$ 이므로 $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 ${\mathrm{N}} ( 20 , 1 ^{2} )$을 따른다. $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 18 \leq {\overline{X}} \leq 21 ) = {\mathrm{P}} \left( \frac{18 - 20}{1} \leq Z \leq \frac{21 - 20}{1} \right)$ $= \mathrm{P} \mathit{(} - 2 \leq Z \mathit{\leq} 1 )$ $= 0.4772 + 0.3413$ $= 0.8185$