확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균의 기댓값

문제

주머니 속에 11의 숫자가 적혀 있는 공 11개, 33의 숫자가 적혀 있는 공 nn개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 11개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 22번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 X‾\displaystyle {\overline{X}}라 하자. P(X‾=1)=149\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X}} = 1 ) = \frac{1}{49}일 때, E(X‾)=qp\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{\overline{X}} ) = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 표본평균의 확률분포를 이해하여 기댓값을 구한다. P(X‾=1)=1(n+1)2=149\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X}} = 1 ) = \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{49}에서 n=6n = 6 E(X‾)\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{\overline{X}} )는 모평균과 같으므로 E(X‾)=1+3n7=197\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{\overline{X}} ) = \frac{1 + 3 n}{7} = \frac{19}{7}이므로 p+q=26p + q = 26

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#표본평균#기댓값

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