표본평균의 분산

숫자 $1$이 적혀 있는 공 $10$개, 숫자 $2$가 적혀 있는 공 $20$개, 숫자 $3$이 적혀 있는 공 $30$개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 $10$번 반복하여 확인한 $10$개의 수의 합을 확률변수 $Y$라 하자. 다음은 확률변수 $Y$의 평균 ${\mathrm{E}} ( Y )$와 분산 ${\mathrm{V}} ( Y )$를 구하는 과정이다.

주머니에 들어 있는 $60$개의 공을 모집단으로 하자. 이 모집단에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 이 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하면 $X$의 확률분포, 즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.

따라서 모평균 $m$과 모분산 $\sigma ^{2}$는 $\displaystyle m = \mathrm{E} ( X ) = \frac{7}{3}$, $\sigma ^{2} = \mathrm{V} ( X ) =$$\square {\text{(가)}}$ 이다. 모집단에서 크기가 $10$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{E}} ( \overline{X} ) = \frac{7}{3}$, $\displaystyle {\mathrm{V}} ( \overline{X} ) =$$\square {\text{(나)}}$ 이다. 주머니에서 $n$번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $X _{n}$이라 하면 $\displaystyle Y = \sum\limits _{n = 1} ^{10} {} X _{n} = 10 \overline{X}$ 이므로 $\displaystyle {\mathrm{E}} ( Y ) = \frac{70}{3}$, ${\mathrm{V}} ( Y ) =$$\square {\text{(다)}}$ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ , $r$라 할 때, $p + q + r$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{31}{6}$②$\displaystyle \frac{11}{2}$③$\displaystyle \frac{35}{6}$④$\displaystyle \frac{37}{6}$⑤$\displaystyle \frac{13}{2}$