확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균의 분산

문제

숫자 11, 33, 55, 77, 99가 각각 하나씩 적혀 있는 55장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 11장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 33번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 X‾\displaystyle \overline{X}라 하자. V(aX‾+6)=24\displaystyle {\mathrm{V}} \mathit{\left( a \overline{X} + 6 \right)} = 24일 때, 양수 aa의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

숫자 11, 33, 55, 77, 99중 11장의 카드를 꺼냈을 때 적혀있는 수를 확률변수 XX라 놓으면 E(X)=1+3+5+7+95=5\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{X} \right) = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = 5 E(X2)=1+9+25+49+815=33\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{X} ^{2} \right) = \frac{1 + 9 + 25 + 49 + 81}{5} = 33 V(X)=E(X2)−m2=33−25=8\mathrm{V} \mathit{\left( X \right)} = \mathrm{E} \mathit{\left( X ^{2} \right)} - m ^{2} = 33 - 25 = 8 ∴\therefore V(X‾)=σ2n=83\displaystyle \mathrm{V} \mathit{\left( \overline{X} \right)} = \frac{\sigma ^{2}}{n} = \frac{8}{3} V(aX‾+b)=24\displaystyle \mathrm{V} \mathit{\left( a \overline{X} + b \right)} = 24에서 a2V(X‾)=24\displaystyle a ^{2} \mathrm{V} \left( \mathit{\overline{X}} \right) = 24, a2=9a ^{2} = 9 aa는 양수이므로 a=3a = 3

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#표본평균의 분산

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