확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균의 분포

문제

정규분포 N(10,22)\mathrm{N} ( 10 , 2 ^{2} )을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 nn인 표본의 표본평균을 X‾\displaystyle \overline{X}, 표준정규분포를 따르는 확률변수를 ZZ라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. V(X‾)=4n\displaystyle {\mathrm{V}} ( \overline{X} ) = \frac{4}{n} ㄴ. P(X‾≤10−a)=P(X‾≥10+a)\displaystyle {\mathrm{P}} ( \overline{X} \leq 10 - a ) = {\mathrm{P}} ( \overline{X} \geq 10 + a ) ㄷ. P(X‾≥a)=P(Z≤b)\displaystyle {\mathrm{P}} ( \overline{X} \geq a ) = {\mathrm{P}} ( Z \leq b )이면 a+2nb=10\displaystyle a + \frac{2}{\sqrt{n}} b = 10이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. V(X‾)=22n=4n\displaystyle V ( \overline{X} ) = \frac{2 ^{2}}{n} = \frac{4}{n} (참) ㄴ. E(X‾)=10\displaystyle E ( \overline{X} ) = 10에서 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(10,22n)\displaystyle N ( 10 , \frac{2 ^{2}}{n} )을 따르므로 P(X‾≤10−a)=P(X‾≥10+a)\displaystyle P ( \overline{X} \leq 10 - a ) = P ( \overline{X} \geq 10 + a ) (참) ㄷ.P(X‾≥a)\displaystyle P ( \overline{X} \geq a )=P(Z≥a−102n)=P(Z≤b)\displaystyle = P ( Z \geq \frac{a - 10}{\frac{2}{\sqrt{n}}} ) = P ( Z \leq b ) 이므로 a−102n=−b\displaystyle \frac{a - 10}{\frac{2}{\sqrt{n}}} = - b, a−10=−2nb\displaystyle a - 10 = - \frac{2}{\sqrt{n}} b ∴\therefore a+2nb=10\displaystyle a + \frac{2}{\sqrt{n}} b = 10 (참) 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ, 모두 옳다.

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