표본평균의 분포

[출제의도]정규분포에서 표본의 분포를 구하여 표본의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 비누의 무게 $X$가 정규분포 $\mathrm{N} \left( 250 , 20 ^{2} \right)$을 따르므로 크기 $n$인 표본평균의 분포는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \mathit{\left( 250 , \frac{20 ^{2}}{n} \right)}$을 따른다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned} \left. \left. \mathrm{P} \right( \mathit{242} \leq \overline{X} \leq 258 \right) = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{242 - 250}{20} \sqrt{n} \leq Z \leq \frac{258 - 250}{20} \sqrt{n} \right)} \\ \leq 0.9544 \end{aligned}$ 에서 $\displaystyle \frac{8}{20} \sqrt{n} \leq 2$ $\therefore n \leq 25$이므로 최댓값은 $25$이다.