확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

표본평균과 표준정규분포 보기

문제

모평균 7575, 모표준편차 55인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 2525인 표본의 표본평균을 X‾\displaystyle \overline{X}라 하자. 표준정규분포를 따르는 확률변수 ZZ에 대하여 양의 상수 cc가 P(∣Z∣>c)=0.06\mathrm{P} ( \mathit{|} Z | > c ) = 0.06 을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

[ 보 기 ]
ㄱ. P(Z>a)=0.05\mathrm{P} ( \mathit{Z} > a ) = 0.05인 상수 aa에 대하여 c>ac > a이다. ㄴ. P(X‾≤c+75)=0.97\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X}} \leq c + 75 ) = 0.97 ㄷ. P(X‾>b)=0.01\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X}} > b ) = 0.01인 상수 bb에 대하여 c<b−75c < b - 75이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. P(Z>c)=0.03<0.05=P(Z>a){\mathrm{P}} ( Z > c ) = 0.03 < 0.05 = {\mathrm{P}} ( Z > a )이므로 c>ac > a ∴참 ㄴ. P(X‾≤c+75)=P(Z≤c)=0.97\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} \overline{X} \leq c + 75 ) = \mathrm{P} \mathit{(} Z \leq c ) = 0.97 ∴참

ㄷ. P(X‾>b)=P(Z>b−75)\displaystyle {\mathrm{P}} ( \overline{X} > b ) = {\mathrm{P}} ( Z > b - 75 )=0.01<0.03=P(Z>c)= 0.01 < 0.03 = {\mathrm{P}} ( Z > c ) 이므로 b−75>cb - 75 > c ∴참 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

태그

#표본평균의 분포#표준정규분포

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