확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균 표준화

문제

어느 회사에서 생산하는 제품 1개의 무게는 평균이 500g500 g, 표준편차가 40g40 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제품 중에서 크기가 100인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 X‾\displaystyle {\overline{X}}라 하자. 표준정규분포를 따르는 확률변수 ZZ에 대하여 P(X‾≥494)=P(Z≤k)\displaystyle P ( {\overline{X}} \geq 494 ) = P ( Z \leq k )를 만족시키는 상수 kk의 값은? [4점]

①−32\displaystyle - \frac{3}{2}②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③0④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 수학 외적 문제 해결능력-통계 E(X‾)=500,σ(X‾)=40100=4\displaystyle E \left( {\overline{X}} \right) = 500 , \sigma \left( {\overline{X}} \right) = \frac{40}{\sqrt{100}} = 4이므로 X‾\displaystyle {\overline{X}}는 정규분포 N(500,42)N ( 500 , 4 ^{2} )을 따른다. P(X‾≥494)=P(Z≥494−5004)\displaystyle P \left( {\overline{X}} \geq 494 \right) = P \left( Z \geq \frac{494 - 500}{4} \right) =P(Z≥−32)=P(Z≤32)\displaystyle = P \left( Z \geq - \frac{3}{2} \right) = P \left( Z \leq \frac{3}{2} \right) 따라서 k=32\displaystyle k = \frac{3}{2}

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