확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균 확률 차

문제

어느 공장에서 만드는 제품 A\mathrm{A}의 무게는 평균 120120g, 표준편차 1010g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 만드는 제품 A\mathrm{A} 중에서 임의추출한 11개의 무게가 130130g 이상일 확률을 p1p _{1}, 임의추출한 44개의 무게의 평균이 130130g 이상일 확률을 p2p _{2}라 할 때, p1−p2p _{1} - p _{2}의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

zzP(0≤Z≤z){\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq z )
0.50.5 1.01.0 1.51.5 2.02.00.19150.1915 0.34130.3413 0.43320.4332 0.47720.4772

①−0.1498- 0.1498②−0.1359- 0.1359③00④0.13590.1359⑤0.14980.1498

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④

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해설

[출제의도] 표본평균의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 제품 AA의 무게를 확률변수 XX라 하면 XX는 정규분포 N(120,102){\mathrm{N}} ( 120 , 10 ^{2} )을 따르므로 p1=p _{1} =P(X≥130){\mathrm{P}} ( X \geq 130 )=P(Z≥130−12010)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \geq \frac{130 - 120}{10} \right) =P(Z≥1)=0.5−P(0≤Z≤1)= {\mathrm{P}} ( Z \geq 1 ) = 0.5 - {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1 ) =0.1587= 0.1587 한편, 크기가 44인 표본의 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(120,52){\mathrm{N}} ( 120 , 5 ^{2} )을 따르므로 p2=p _{2} =P(X‾≥130)\displaystyle {\mathrm{P}} ( \overline{X} \geq 130 )=P(Z≥130−1205)\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( Z \geq \frac{130 - 120}{5} \right) =P(Z≥2)=0.5−P(0≤Z≤2)= {\mathrm{P}} ( Z \geq 2 ) = 0.5 - {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 2 ) =0.0228= 0.0228 ∴ p1−p2p _{1} - p _{2}=0.1359= 0.1359

태그

#정규분포#표본평균

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