표본평균 확률

확률밀도함수 $f ( x )$가 $f ( x ) = f ( 100 - x )$이므로 $f ( x )$는 $x = 50$에 대하여 대칭이다. 따라서 평균 $m = 50$이고 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 평균이 $50$이고 표준편차가 $\displaystyle \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$인 정규분포를 따른다. $\displaystyle \therefore P ( 44 \leq \overline{X} \leq 48 )$ $\displaystyle = P \left( \frac{44 - 50}{2} \leq Z \leq \frac{48 - 50}{2} \right)$ $= P \left( - 3 \leq Z \leq - 1 \right)$ 한편 주어진 그래프에서 구간별 확률은 $P ( - 1 \leq Z \leq 1 ) = 0.6826$ $P ( - 3 \leq Z \leq 3 ) = 0.9974$ 이므로 $P \left( - 3 \leq Z \leq - 1 \right)$ $= P \left( 0 \leq Z \leq 3 \right) - P \left( 0 \leq Z \leq 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{0.9974}{2} - \frac{0.6826}{2} = 0.1574$