확률과 통계통계적 추정수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

표본평균 확률

문제

주머니 $\mathrm{A}$ 에는 숫자 $1$ , $2$ 가 하나씩 적혀 있는 $2$ 개의 공이 들어 있고, 주머니 $\mathrm{B}$ 에는 숫자 $3$ , $4$ , $5$ 가 하나씩 적혀 있는 $3$ 개의 공이 들어 있다. 다음의 시행을 $3$ 번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 $\displaystyle \overline{X}$ 라 하자.

두 주머니 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 중 임의로 선택한 하나의 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 꺼낸 주머니에 다시 넣는다.

$\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \overline{X} = 2 \right)} = \frac{q}{p}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

모집단의 분포는

$X$	1	2	3	4	5	합계
P $( X = x )$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	1

$\displaystyle \overline{X} = \frac{1}{3} ( X _{1} + X _{2} + X _{3} )$ $= 2$ 인 경우는 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} ) =$ $( 1 , 1 , 4 )$ , $( 1 , 4 , 1 )$ , $( 4 , 1 , 1 )$ , $( 1 , 2 , 3 )$ , $( 1 , 3 , 2 )$ , $\cdots$ , $( 3 , 2 , 1 )$ , $( 2 , 2 , 2 )$ 이므로 구하는 확률은 $\displaystyle 3 \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \left( \frac{1}{6} \right) + 6 \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \left( \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} \right) ^{3}$ $\displaystyle = \frac{7}{64}$ $\therefore$ $p + q = 64 + 7 = 71$

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