표본평균 확률

[출제의도] 표본평균의 확률분포를 이용하여 확률을 구한다. 정규분포 $\mathrm{N} \left( 104 , 4 ^{2} \right)$을 따르는 모집단에서 임의추출한 과자 $4$상자의 무게의 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \left( 104 , \frac{4 ^{2}}{4} \right)$ 즉, $\mathrm{N} \left( 104 , 2 ^{2} \right)$을 따른다. 그러므로 확률변수 $\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 104}{2}$는 표준정규분포 $\mathrm{N} ( 0 , 1 ^{2} )$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{a} \leq \mathit{\overline{X}} \leq 106 \right)$$\displaystyle = \mathrm{P} \left( \frac{\mathit{{a} - 104}}{2} \leq {{\mathit{Z}}} \leq {1} \right)$ $\mathrm{P} \left( \mathit{-} 0.5 \leq \mathit{Z} \leq 1 \right) = 0.5328$이므로 $\displaystyle \frac{a - 104}{2} = \mathit{-} 0.5$ 따라서 $a = 103$