표본평균 확률

[출제의도] 표본평균의 확률분포에서의 확률을 구할 수 있는가? 공장에서 생산하는 화장품 $1$개의 내용량을 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} \left( 201.5 , 1.8 ^{2} \right)$을 따른다. 이때, 이 공장에서 생산한 화장품 중 임의추출한 $9$개의 화장품 내용량의 표본평균을 확률변호 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N} \left( 201.5 , {\frac{1.8 ^{2}}{9} )} \right.$ 즉, $\mathrm{N} \left( 201.5 , 0.6 ^{2} \right)$을 따르고, $\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 201.5}{0.6}$로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} \left( 0 , 1 ) \right.$을 따른다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( \overline{X} \geq 200 \right)$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{\overline{X} - 201.5}{0.6} \geq \frac{200 - 201.5}{0.6} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq - 2.5 \right)}$ $= {\mathrm{P}} \left( - 2.5 \leq Z \leq 0 \right) + {\mathrm{P}} \left( Z \geq 0 \right)$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 2.5 \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq 0 \right)}$ $= 0.4938 + 0.5$ $= 0.9938$