표본평균 확률

일주일 수면 시간을 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 ${\mathrm{N}} \mathit{\left( 45 , 1 ^{2} \right)}$을 따른다. 임의추출한 $36$명의 일주일 수면 시간의 평균을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{E}} \mathit{\left( \overline{X} \right)} = 45$, $\displaystyle \sigma \left( \overline{X} \right) = \frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6}$ 이므로 확률변수 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \mathit{\left( 45 , \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} \right)}$을 따른다. $\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 45}{\frac{1}{6}}$이라 하면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \mathit{(} 0 , 1 )$을 따르므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{\left( 44 + \frac{3}{4} \leq \overline{X} \leq 45 + \frac{1}{3} \right)}$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \mathit{\left( \frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{6}} \leq Z \leq \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} \right)}$ $= {\mathrm{P}} \mathit{\left( - 1.5 \leq Z \leq 2 \right)}$ $= {\mathrm{P}} \mathit{\left( - 1.5 \leq Z \leq 0 \right)} + {\mathrm{P}} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 2 \right)}$ $= {\mathrm{P}} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1.5 \right)} + {\mathrm{P}} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 2 \right)}$ $= 0.4332 + 0.4772$ $= 0.9104$