확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

표본평균 확률

문제

어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X$	1	2	4	계
$P ( X = x )$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$a$	$b$	1

이 모집단에서 크기가 2인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\displaystyle \mathrm{\overline{X}}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{P} ( {\overline{X}} = 2 ) = \frac{1}{9}$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{P} ( {\overline{X}} = 3 )$ 의 값은? (단, $a , b$ 는 상수이다.) [3점]

① $\displaystyle \frac{2}{9}$ ② $\displaystyle \frac{5}{18}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{7}{18}$ ⑤ $\displaystyle \frac{4}{9}$

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②

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해설

[출제의도] 이해능력-통계 확률의 총합은 1이므로 $\displaystyle a + b = \frac{3}{4}$ $\displaystyle {\overline{X}} = \frac{X _{1} + X _{2}}{2} = 2$ 에서 $X _{1} + X _{2} = 4$ 인 경우는 $X _{1} = X _{2} = 2$ 일 때이므로 $\displaystyle P ( {\overline{X}} = 2 ) = a ^{2} = \frac{1}{9}$ 에서 $\displaystyle a = \frac{1}{3} , b = \frac{5}{12}$ 한편 $\displaystyle {\overline{X}} = \frac{X _{1} + X _{2}}{2} = 3$ 에서 $X _{1} + X _{2} = 6$ 인 경우는 $X _{1} = 2 , X _{2} = 4$ 또는 $X _{1} = 4 , X _{2} = 2$ 일 때이므로 $\displaystyle P ( {\overline{X}} = 3 ) = 2 ab = \frac{5}{18}$

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