표본평균 확률

[출제의도] 표본평균의 확률을 구할 수 있는가? 이 공장에서 생산한 화장품 중 임의추출한 $9$개의 화장품 내용량의 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{\overline{X}} \right) = 201.5 \mathrm{g}$ $\displaystyle \sigma \left( \overline{X} \right) = \frac{1.8}{\sqrt{9}} = 0.6 \mathrm{g}$ 이때, $\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 201.5}{0.6}$라 하면 확률변수 $Z$는 정규분포 $\mathrm{N} \left( 0 , 1 \right)$을 따르므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{\overline{X}} \geq 200 \right)$$\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{200 - 201.5}{0.6} \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{X} \geq - 2.5 \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{-} 2.5 \leq Z \leq 0 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq 0 \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 2.5 \right) + \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq 0 \right)$ $= 0.4938 + 0.5$ $= 0.9938$