확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본평균 기준값

문제

어느 과자 공장에서 생산하는 과자A\mathrm{A}의 무게는 평균 800g800 \mathrm{g}, 표준편차 14g14 \mathrm{g}인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 생산 시스템의 이상 여부를 점검하기 위하여 하루에 생산된 과자 A\mathrm{A} 중에서 크기가 4949인 임의표본을 추출하여 과자의 무게에 대한 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}를 계산한다. X‾\displaystyle \overline{X}가 상수 c보다 작으면 생산 시스템에 이상이 있는 것으로 판단하고 생산시스템을 점검한다. 이 공장에서 생산 시스템에 이상이 있다고 판단될 확률이 0.020.02라고 할 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 상수 cc의 값은? [4점]

zzP(0≤Z≤z)\mathrm{P} ( 0 \leq Z \leq z )
1.880.47
2.050.48
2.330.49

①771.3771.3②784.7784.7③787.1787.1④791.5791.5⑤795.9795.9

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⑤

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해설

과자 A 의 무게가 정규분포 N(800,142)N ( 800 , 14 ^{2} )를 따르므로 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(800,(1449)2)\displaystyle N \left( 800 , \left( \frac{14}{\sqrt{49}} \right) ^{2} \right)를 따른다. 따라서 P(X‾<c)=0.02\displaystyle P ( \overline{X} < c ) = 0.02에서 P(Z<c−8002)=0.02\displaystyle P \left( Z < \frac{c - 800}{2} \right) = 0.02 이므로 P(Z>800−c2)=0.02\displaystyle P \left( Z > \frac{800 - c}{2} \right) = 0.02 즉P(0≤Z≤800−c2)=0.48\displaystyle P \left( 0 \leq Z \leq \frac{800 - c}{2} \right) = 0.48이므로 주어진 표에서 800−c2=2.05\displaystyle \frac{800 - c}{2} = 2.05 ∴c=800−2×2.05=795.9\therefore c = 800 - 2 \times 2.05 = 795.9

태그

#표본평균의 분포#정규분포표

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