확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

표본평균 분포

문제

어느 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛의 무게는 평균이 7070, 표준편차가 2.52.5인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛 중 1616개를 임의추출하여 조사한 무게의 표본평균을 X‾\displaystyle {\overline{X}}라 하자.

zzP(0≤Z≤z)\mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq z )
1.01.00.34130.3413
1.51.50.43320.4332
2.02.00.47720.4772
2.52.50.49380.4938

P(∣X‾−70∣≤a)=0.9544\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \left| {\overline{X}} - 70 \right| \leq a \right)} = 0.9544 를 만족시키는 상수 aa의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g\mathrm{g}이다.) [3점] ①1.001.00②1.251.25③1.501.50④2.002.00⑤2.252.25

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②

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해설

[출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 표본의 크기가 1616이므로 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(70,(2.54)2)\displaystyle \left. \mathrm{N} \left( 70 , \left( \frac{2.5}{4} \right) ^{2} \right) \right.을 따른다. P(∣X‾−70∣≤a)\displaystyle {\mathrm{P}} \left( \left| \overline{X} - 70 \right| \leq a \right)=P(∣X‾−702.54∣≤a2.54)\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \left| \frac{{\overline{X}} - 70}{\frac{2.5}{4}} \right| \leq \frac{a}{\frac{2.5}{4}} \right)}==P(∣Z∣≤85a)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \left| Z \right| \leq \frac{8}{5} a \right)} P(∣Z∣≤2)=0.9544\mathrm{P} \mathit{\left( \left| Z \right| \leq 2 \right)} = 0.9544이므로 85a=2\displaystyle \frac{8}{5} a = 2에서 a=1.25a = 1.25

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#표본평균#정규분포

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