확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

표본비율 표본 크기

문제

우리나라 성인을 대상으로 특정 질병에 대한 항체 보유 비율을 조사하려고 한다. 모집단의 항체 보유 비율을 pp, 모집단에서 임의로 추출한 nn명을 대상으로 조사한 표본의 항체 보유 비율을 p^\hat{p}이라고 할 때, ∣p^−p∣≤0.16p^(1−p^)\displaystyle \left| \hat{p} - p \right| \leq 0.16 \sqrt{\hat{p} \left( 1 - \hat{p} \right)}일 확률이 0.95440.9544 이상이 되도록 하는 nn의 최솟값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분포가 따르는 확률변수일 때, P(0≤Z≤2)=0.4772P \left( 0 \leq Z \leq 2 \right) = 0.4772이다. ) [4점]

이산수학

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157157

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해설

nn이 충분히 큰 경우 p^\hat{p}은 근사적으로 정규분포 N(p,p(1−p)n)\displaystyle N \left( p , \frac{p \left( 1 - p \right)}{n} \right)를 따른다. P(∣p^−p∣≤2p^(1−p^)n)=0.9544\displaystyle P \left( \left| \hat{p} - p \right| \leq 2 \sqrt{\frac{\hat{p} \left( 1 - \hat{p} \right)}{n}} \right) = 0.9544이므로 ∴\therefore 2n=0.16\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}} = 0.16, n=20.16=252\displaystyle \sqrt{n} = \frac{2}{0.16} = \frac{25}{2} n=6254=156.×××\displaystyle n = \frac{625}{4} = 156 . \times \times \times 따라서 nn은 157157 이상이어야 한다.

태그

#모비율의 추정#표본비율

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