확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

표본 크기와 신뢰구간

문제

정규분포 N(m,22)\mathrm{N} ( \mathit{m} , 2 ^{2} )을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 77인 표본과 크기 1010인 표본의 표본평균을 각각 X‾A\displaystyle {\overline{X} _{A}}, X‾B\displaystyle {\overline{X} _{B}}라 하고, X‾A\displaystyle {\overline{X} _{A}}와 X‾B\displaystyle {\overline{X} _{B}}의 분포를 이용하여 추정한 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간을 각각 [a,b][ a , b ], [c,d][ c , d ]라고 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

[ 보 기 ]
ㄱ. XA‾\displaystyle \overline{X _{A}}의 분산은 XB‾\displaystyle \overline{X _{B}}의 분산보다 크다. ㄴ. P(XA‾≤m+2)<P(XB‾≤m+2)\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X _{A}}} \leq m + 2 ) < \mathrm{P} ( \mathit{\overline{X _{B}}} \leq m + 2 ) ㄷ. d−c<b−ad - c < b - a

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. XA‾∼N(m,227)\displaystyle \overline{X _{A} ^{}} \sim \mathrm{N} \left( \mathit{m} , \frac{2 ^{2}}{7} \right), XB‾∼N(m,2210)\displaystyle \overline{X _{B} ^{}} \sim \mathrm{N} \left( \mathit{m} , \frac{2 ^{2}}{10} \right)이므로 V(XA‾)>V(XB‾)\displaystyle \mathrm{V} ( \overline{X _{A} ^{}} ) > \mathrm{V} ( \overline{X _{B} ^{}} ) ∴ 참 ㄴ. X‾A\displaystyle \overline{X} _{A}, X‾B\displaystyle \overline{X} _{B}의 분포는 그림과 같다.

따라서 P(XA‾>m+2)>P(XB‾>m+2)\displaystyle \mathrm{P} ( \overline{X _{A} ^{}} > \mathit{m} + 2 ) > \mathrm{P} ( \overline{X _{B} ^{}} > \mathit{m} + 2 ) 그러므로 P(XA‾≤m+2)<P(XB‾≥m+2)\displaystyle \mathrm{P} ( \overline{X _{A} ^{}} \leq \mathit{m} + 2 ) < \mathrm{P} ( \overline{X _{B} ^{}} \geq m + 2 ) ∴ 참 ㄷ. Z∼N(0,12)Z \sim \mathrm{N} ( 0 , 1 ^{2} )에서 P(∣Z∣≤K)=0.95\mathrm{P} ( \mathit{\left| Z \right|} \leq K ) = 0.95라 두면 b−a=2K27\displaystyle b - a = 2 K \frac{2}{\sqrt{7}}, d−a=2K210\displaystyle d - a = 2 K \frac{2}{\sqrt{10}} ∴d−c<b−a\therefore d - c < b - a ∴ 참 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

태그

#표본평균의 분포#신뢰구간

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