표본 크기 구하기

$\mathrm{A}$도시에서 $\mathrm{B}$도시로 운행하는 고속버스의 소요시간을 확률변수 $X$라 두면 $X$~$N \left( m , 10 ^{2} \right)$을 따른다. 이 때, 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 $\displaystyle \overline{X}$~$\displaystyle N \left( m , \left( \frac{10}{\sqrt{n}} \right) ^{2} \right)$를 따른다. $\displaystyle P \mathit{(} m - 5 \leq \overline{X} \leq m + 5 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{(} - 5 \leq \overline{X} - m \leq 5 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{- 5}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \leq \frac{\overline{X} - m}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \leq \frac{5}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \right)}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( - \frac{\sqrt{n}}{2} \leq Z \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \right)} = 2 \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \right)}$ $= 0.9544$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \right)} = 0.4772 = {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 2 )$이므로 $\displaystyle \therefore \frac{\sqrt{n}}{2} = 2 \rightarrow n = 16$