표본 크기 최솟값

월 교통비를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 8 , 1.2 ^{2} \right)$을 따른다. 크기가 $n$인 표본을 임의로 추출하여 구한 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$에 대하여 $\displaystyle {\mathrm{E}} \left( \overline{X} \right) = 8 , {\mathrm{V}} \left( \overline{X} \right) = \frac{1.2 ^{2}}{n}$이므로 $\displaystyle \overline{X}$는 정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 8 , \frac{{1.2} ^{2}}{n} \right)$을 따른다. 확률변수 $\displaystyle Z = \frac{\overline{X} - 8}{\frac{1.2}{m}}$은 표준정규분포 ${\mathrm{N}} ( 0 , 1 )$을 따르고 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 7.76 \leq \overline{X} \leq 8.24 \right) \geq 0.6826$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 7.76 \leq \overline{X} \leq 8.24 \right) = {\mathrm{P}} \left( \frac{7.76 - 8}{\frac{1.2}{\sqrt{m}}} \leq z \leq \frac{8.24 - 8}{\frac{1.2}{\sqrt{m}}} \right)$ $\displaystyle = 2 {\mathrm{P}} \left( 0 \leq z \leq \frac{\sqrt{n}}{5} \right) \geq 0.6826$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 0 \leq z \leq \frac{\sqrt{n}}{5} \right) \geq 0.3413 = {\mathrm{P}} ( 0 \leq z \leq 1 )$ $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1$에서 $n \geq 25$이므로 구하는 최솟값은 $25$이다.