표본 합의 확률

[출제의도] 수학외적 문제해결능력-통계 이 공장에서 생산하는 노트북 컴퓨터 1대의 무게를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 정규분포 $N ( 900 , 20 ^{2} )$을 따른다. 이 공장에서 생산하는 노트북 컴퓨터 중에서 임의추출한 4대의 무게의 평균을 $\displaystyle {\overline{X}}$라 하면 표본평균 $\displaystyle {\overline{X}}$는 정규분포 $\displaystyle N \left( 900 , \left( \frac{20}{\sqrt{4}} \right) ^{2} \right)$ 즉, $N ( 900 , 10 ^{2} )$을 따르므로 $\displaystyle Z = \frac{{\overline{X}} - 900}{10}$ 이라하면 확률변수 $Z$는 정규분포 $N ( 0 , 1 )$을 따른다. 이때 임의추출한 노트북 컴퓨터 4대의 무게의 합은 $\displaystyle 4 {\overline{X}}$와 같으므로 구하는 확률은 $\displaystyle P ( 4 {\overline{X}} \leq 3640 ) = P ( {\overline{X}} \leq 910 )$ $\displaystyle = P \left( \frac{{\overline{X}} - 900}{10} \leq \frac{910 - 900}{10} \right)$ $= P ( Z \leq 1 ) = 0.5 + P ( 0 \leq Z \leq 1 )$ $= 0.5 + 0.3413 = 0.8413$