평행사변형과 사인값

점 $\mathrm{D}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\square \mathrm{ABCD}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{DH}}} = 12 \times {\overline{\mathrm{DH}}}$$= 120$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} = 10$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 평행사변형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{DC}}}$ 직각삼각형 $\mathrm{DCH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2}$, $\displaystyle \left( 5 \sqrt{5} \right) ^{2} = {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2} + 10 ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}$$= 125 - 100 = 25$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = 5$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 3 {\overline{\mathrm{ED}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AE}}} + {\overline{\mathrm{ED}}}$$\displaystyle = 3 {\overline{\mathrm{ED}}} + {\overline{\mathrm{ED}}}$$\displaystyle = 4 {\overline{\mathrm{ED}}} = 12$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{ED}}} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{ED}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = {\overline{\mathrm{FB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} + {\overline{\mathrm{CH}}} = 3 + 12 + 5 = 20$ 직각삼각형 $\mathrm{DFH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2} = 20 ^{2} + 10 ^{2} = 500$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = 10 \sqrt{5}$ 선분 $\mathrm{AB}$가 선분 $\mathrm{DF}$와 만나는 점을 $\mathrm{I}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \parallel {\overline{\mathrm{EG}}}$이므로 $\angle \mathrm{DE} \mathrm{G} \mathit{=} \angle \mathrm{DAB}$(동위각)이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{FC}}}$이므로 $\angle \mathrm{DAB} \mathit{=} \angle \mathrm{FBI}$(엇각) 그러므로 $\angle \mathrm{DE} \mathrm{G} \mathit{=} \angle \mathrm{FBI}$ 삼각형 ${\mathrm{EGD}}$와 삼각형 ${\mathrm{BIF}}$에서 $\angle \mathrm{DE} \mathrm{G} \mathit{=} \angle \mathrm{FBI}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{DE}}} = \overline{{\mathrm{FB}}} = 3$, $\angle {\mathrm{EDG}} \mathit{=} \angle {\mathrm{BFI}}$(엇각)이므로 두 삼각형은 서로 합동이다. 삼각형 ${\mathrm{EGD}}$와 삼각형 ${\mathrm{AID}}$에서 각 ${\mathrm{EDG}}$는 공통이고, $\angle {\mathrm{DGE}} \mathit{=} \angle {\mathrm{DIA}}$(동위각)이므로 두 삼각형은 서로 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} : {\overline{\mathrm{DA}}} = 3 : 12 = 1 : 4$이므로 삼각형 ${\mathrm{EGD}}$와 삼각형 ${\mathrm{AID}}$의 닮음비는 $1 : 4$이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{FI}}} = \overline{{\mathrm{GD}}} = x$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{ID}}} = 4 x$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FD}}} = {\overline{\mathrm{FI}}} + {\overline{\mathrm{ID}}} = 5 x = 10 \sqrt{5}$ $\displaystyle x = 2 \sqrt{5}$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FI}}} = {\overline{\mathrm{GD}}} = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}} = {\overline{\mathrm{EG}}} = y$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} = 4 y$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AI}}} + {\overline{\mathrm{IB}}} = 5 y = 5 \sqrt{5}$ $\displaystyle y = \sqrt{5}$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}} = {\overline{\mathrm{EG}}} = \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{G}$에서 선분 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{G} \mathrm{E}}} \parallel {\overline{\mathrm{CD}}}$이므로 $\angle {\mathrm{JEG}} \mathit{=} \angle {\mathrm{ADC}}$(동위각)이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{CH}}}$이므로 $\angle \mathrm{ADC} \mathit{=} \angle \mathrm{HCD}$(엇각) 그러므로 $\angle \mathrm{JEG} \mathit{=} \angle \mathrm{HCD}$ 삼각형 ${\mathrm{G \mathrm{EJ}}}$와 삼각형 ${\mathrm{DCH}}$에서 $\angle \mathrm{JEG} \mathit{=} \angle \mathrm{HCD}$ $\angle {\mathrm{GJE}} \mathit{=} \angle {\mathrm{DHC}} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 두 삼각형은 서로 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{G} \mathrm{E}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = \sqrt{5} : 5 \sqrt{5} = 1 : 5$이므로 삼각형 $\mathrm{G} \mathrm{EJ}$와 삼각형 $\mathrm{DCH}$의 닮음비는 $1 : 5$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{EJ}}} : {\overline{\mathrm{CH}}} = {\overline{\mathrm{EJ}}} : 5 = 1 : 5$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EJ}}} = 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{GJ}}} : {\overline{\mathrm{DH}}} = {\overline{\mathrm{GJ}}} : 10 = 1 : 5$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GJ}}} = 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AJ}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} - {\overline{\mathrm{ED}}} - {\overline{\mathrm{JE}}} = 12 - 3 - 1 = 8$ 직각삼각형 $\mathrm{AGJ}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{GJ}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AJ}}} ^{2} = 2 ^{2} + 8 ^{2} = 68$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = 2 \sqrt{17}$ 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{DF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{K}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ADK}$와 삼각형 $\mathrm{DFH}$에서 $\angle \mathrm{ADK} \mathit{=} \angle \mathrm{DFH}$(엇각), $\angle \mathrm{DKA} \mathit{=} \angle \mathrm{FHD} \mathit{=} 90 ^\circ$이므로 두 삼각형은 서로 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AK}}} : {\overline{\mathrm{DH}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} : {\overline{\mathrm{DF}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AK}}} : 10 = 12 : 10 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AK}}} = \frac{120}{10 \sqrt{5}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{AGK}$에서 $\sin \left( \angle \mathrm{AGK} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AK}}}}{{\overline{\mathrm{AG}}}}$$\displaystyle = \frac{12 \sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2 \sqrt{17}}$ $\displaystyle = \frac{12 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{17}}{34}$ $\displaystyle = \frac{6}{85} \sqrt{85}$ $\angle \mathrm{AGF} \mathit{=} \angle \mathrm{AGK}$이므로 $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{AGF} \right) = \frac{6}{85} \sqrt{85}$ 따라서 $p = 85$, $q = 6$에서 $p + q = 91$