평행사변형 탄젠트

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 삼각비를 구한다.

그림과 같이 점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하자. 또 점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 하자. $\mathrm{\angle} ABC = 45 \mathit{^\circ}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$는 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{BE} = 3$이다. $\mathrm{\angle} ACB = 60 \mathit{^\circ}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{AEC}$에서 $\tan 60 \mathit{^\circ}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{{\overline{AE}}}}{\mathrm{\overline{CE}}}$$\displaystyle = \frac{3}{\mathrm{\overline{CE}}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}}$$\displaystyle = \frac{3}{\tan 60 \mathit{^\circ}}$$\displaystyle = \frac{3}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = \sqrt{3}$ 두 선분 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$는 서로 평행하므로 $\mathrm{\angle} ABE = \angle DCF = 45 \mathit{^\circ}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 평행사변형에서 대변의 길이는 서로 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{CD}}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에 의해 두 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$와 $\mathrm{DCF}$는 합동이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \mathrm{\overline{DF}} = 3$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{DBF}$에서 선분 $\mathrm{BF}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}}$$\displaystyle = \mathrm{{\overline{BE}} + {\overline{EC}} + {\overline{CF}}}$$\displaystyle = 3 + \sqrt{3} + 3$$\displaystyle = 6 + \sqrt{3}$ 그러므로 구하는 값은 직각삼각형 $\mathrm{BFD}$에서 $\tan ( \angle \mathrm{CBD} )$$\displaystyle = \frac{\mathrm{{\overline{DF}}}}{{\overline{BF}}}$$\displaystyle = \frac{3}{6 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{3 \left( 6 - \sqrt{3} \right)}{\left( 6 + \sqrt{3} \right) \left( 6 - \sqrt{3} \right)}$$\displaystyle = \frac{3 \left( 6 - \sqrt{3} \right)}{36 - 3}$ $\displaystyle = \frac{6 - \sqrt{3}}{11}$