중학중학 미분류수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

평행사변형 속 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 AB‾=30\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 30, BC‾=45\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 45, ∠CBA<90∘\angle {\mathrm{CBA}} \mathit{<} 90 ^\circ인 평행사변형 ABCD{\mathrm{ABCD}}가 있다. 각 C\mathrm{C}의 이등분선과 직선 AB{\mathrm{AB}}가 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하고, 직선 CE{\mathrm{CE}}가 선분 BD{\mathrm{BD}}와 만나는 점을 F{\mathrm{F}}라 하자. 선분 CD{\mathrm{CD}} 위의 DG‾=10\displaystyle {\overline{\mathrm{DG}}} = 10인 점 G{\mathrm{G}}에 대하여 직선 EG{\mathrm{EG}}가 선분 BD{\mathrm{BD}}와 만나는 점을 H{\mathrm{H}}라 하자. 삼각형 DHG{\mathrm{DHG}}의 넓이가 3535일 때, 삼각형 EFH{\mathrm{EFH}}의 넓이는? [4점]

①161161②168168③175175④182182⑤189189

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⑤

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해설

직선 AB{\mathrm{AB}}와 직선 DC{\mathrm{DC}}가 서로 평행하므로 ∠BEC=∠DCE\angle {\mathrm{BEC}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DCE}} (엇각) ∠DCE=∠ECB\angle {\mathrm{DCE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{ECB}}에서 ∠BEC=∠ECB\angle {\mathrm{BEC}} = \mathit{\angle} {\mathrm{ECB}}이므로 삼각형 BCE{\mathrm{BCE}}는 BE‾=BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}인 이등변삼각형이다. 즉, BE‾=45\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = 45 AE‾=BE‾−BA‾=45−30=15\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = {\overline{\mathrm{BE}}} - {\overline{\mathrm{BA}}} = 45 - 30 = 15 두 삼각형 BHE{\mathrm{BHE}}, DHG{\mathrm{DHG}}에서 ∠EHB=∠GHD\angle {\mathrm{EHB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{GHD}} (맞꼭지각) 직선 AB{\mathrm{AB}}와 직선 DC{\mathrm{DC}}가 서로 평행하므로 ∠HBE=∠HDG\angle {\mathrm{HBE}} = \mathit{\angle} {\mathrm{HDG}} (엇각) 그러므로 두 삼각형 BHE{\mathrm{BHE}}, DHG{\mathrm{DHG}}는 서로 닮음이다. BH‾:DH‾=BE‾:DG‾=45:10=9:2\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} : {\overline{\mathrm{DH}}} = {\overline{\mathrm{BE}}} : {\overline{\mathrm{DG}}} = 45 : 10 = 9 : 2에서 DH‾=211×BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} = \frac{2}{11} \times {\overline{\mathrm{BD}}} 두 삼각형 BHE{\mathrm{BHE}}, DHG{\mathrm{DHG}}는 닮음비가 9:29 : 2이므로 △BHE:△DHG=81:4\triangle {\mathrm{BHE}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{DHG}} = \mathit{81} : 4 △BHE=814×△DHG=814×35=28354\displaystyle \triangle {\mathrm{BHE}} \frac{= \mathit{81}}{4} \times \triangle {\mathrm{DHG}} \frac{= \mathit{81}}{4} \times 35 = \frac{2835}{4} 두 삼각형 BFE{\mathrm{BFE}}, DFC{\mathrm{DFC}}에서 ∠EFB=∠CFD\angle {\mathrm{EFB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CFD}} (맞꼭지각) 직선 AB{\mathrm{AB}}와 직선 DC{\mathrm{DC}}가 서로 평행하므로 ∠BEF=∠DCF\angle {\mathrm{BEF}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DCF}}(엇각) 그러므로 두 삼각형 BFE{\mathrm{BFE}}, DFC{\mathrm{DFC}}는 서로 닮음이다. 평행사변형 ABCD{\mathrm{ABCD}}에서 CD‾=AB‾=30\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} = 30 BF‾:DF‾=EB‾:CD‾=45:30=3:2\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} : {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{EB}}} : {\overline{\mathrm{CD}}} = 45 : 30 = 3 : 2에서 DF‾=25×BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{BD}}}, BF‾=35×BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = \frac{3}{5} \times {\overline{\mathrm{BD}}} FH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}}=DF‾−DH‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{DF}}} - {\overline{\mathrm{DH}}}=25×BD‾−211×BD‾\displaystyle = \frac{2}{5} \times {\overline{\mathrm{BD}}} - \frac{2}{11} \times {\overline{\mathrm{BD}}}=1255×BD‾\displaystyle = \frac{12}{55} \times {\overline{\mathrm{BD}}} 두 삼각형 EBF{\mathrm{EBF}}, EFH{\mathrm{EFH}}에서 밑변을 각각 선분 BF{\mathrm{BF}}, 선분 FH{\mathrm{FH}}라 하면 두 삼각형의 높이는 같다. BF‾=35×BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = \frac{3}{5} \times {\overline{\mathrm{BD}}}, FH‾=1255×BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = \frac{12}{55} \times {\overline{\mathrm{BD}}}이므로 BF‾:FH‾=35:1255=11:4\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} : {\overline{\mathrm{FH}}} = \frac{3}{5} : \frac{12}{55} = 11 : 4에서 △EBF:△EFH=11:4\triangle {\mathrm{EBF}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{EFH}} = \mathit{11} : 4 따라서 △EFH\triangle {\mathrm{EFH}}=415×△EBH=415×28354\displaystyle = \frac{4}{15} \times \triangle {\mathrm{EBH}} \frac{= \mathit{4}}{15} \times \frac{2835}{4} =189= 189

태그

#평행사변형#닮음#넓이비

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