평행사변형 무게중심 거리

[출제의도] 삼각형의 무게중심과 평행사변형의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다. 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$의 교점을 $\mathrm{I}$라 하자.

점 $\mathrm{E}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}} = \frac{1}{3} {\overline{BI}}$ 점 $\mathrm{F}$는 삼각형 $\mathrm{CDA}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{IF}} = \frac{1}{3} {\overline{ID}}$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{EI}} + {\overline{IF}}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \mathrm{\overline{BI}} + \frac{1}{3} {\overline{ID}}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \mathrm{\overline{BI}} + {\overline{ID}} \right)$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{3} {\overline{BD}}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \times 24$$= 8$ [다른풀이] 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 선분 $\mathrm{BD}$는 두 삼각형의 무게중심을 지난다. 따라서 무게중심을 연결한 선분 $\mathrm{EF}$의 길이는 대각선 $\mathrm{BD}$의 길이의 $\displaystyle \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{3} {\overline{BD}}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \times 24$$= 8$